Mixture and Alligation

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जब दो या दो से अधिक समान या असमान पदार्थों को एक निश्चित अनुपात में मिला देते हैं, तो प्राप्त पदार्थ मिश्रण कहलाता है।

मिश्रण के प्रकार

  • साधारण मिश्रणः जब दो भिन्न वस्तुओं को मिलाया जाता है, तो यह साधारण मिश्रण कहलाता है।
  • यौगिक मिश्रण: जब दो या दो से अधिक साधारण मिश्रणों को मिला दिया जाता है और एक नया मिश्रण बनता है तो यह यौगिक मिश्रण कहलाता है।

एलगेशन: एलगेशन एक ऐसी उत्तम तकनीक है जिसमें दो समूहों के मिश्रण के औसत भार से संबंधित समस्याओं का समाधान किया जाता है। शब्द ‘एलगेशन’ का शब्दिक अर्थ ‘जोड़ना’ होता है।

उदाहरण 1. यदि 100 मिली जल को 1000 मिली दूध के साथ मिलाया जाता है तो मिश्रण का अनुपात क्या होगा?

हल: कुल विलयन = 1100 मिली,

इसलिए मिश्रण का अनुपात = mixture-alligation-f-h-10655.png

जल : दूध = 1 : 11

प्रश्नों को हल करने की संक्षिप्त विधि

माना दो वस्तुएँ, जिनका मूल्य ज्ञात है, को मिलाकर एक ज्ञात मूल्य का मिश्रण प्राप्त किया जाता है तो मिश्रण में उन वस्तुओं का अनुपात होगा:

mixture-alligation-f-h-10667.pngmixture-alligation-f-h-10661.png

mixture-alligation-f-h-10673.png

उपरोक्त नियम को निम्न प्रकार से भी प्रदर्शित किया जा सकता हैः

mixture-alligation-f-h-10679.png

सस्ती वस्तु का मूल्य : महँगी वस्तु का मूल्य

= (d – m) : (m – c)

mixture-alligation-f-h-10687.png

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उदाहरण 2. Rs 27 प्रति किग्रा और Rs 40 प्रति किग्रा की दर वाले चाय को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए कि मिश्रण की लागत Rs 30 प्रति किग्रा हो?

हल: उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने पर,

mixture-alligation-f-h-10699.pngmixture-alligation-f-h-10693.png

इसलिए दोनों को 10 : 3 के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

एलगेशन नियमों का उपयोग

  • दो या दो से अधिक अलग-अलग मूल्य वाले वस्तुओं को दिए गए अनुपात में मिलाने से प्राप्त मिश्रण का औसत मूल्य ज्ञात करना।
  • दो या दो से अधिक वस्तुओं को किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि परिणामी मिश्रण का मूल्य दिए गए मूल्य पर हो जाए।

उदाहरण 3. Rs 13.40 प्रति किग्रा और Rs 13.65 प्रति किग्रा की दर वाले चीनी को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए कि मिश्रण का मूल्य Rs 13.20 प्रति किग्रा हो?

हल:

mixture-alligation-f-h-10705.png

mixture-alligation-f-h-10717.pngmixture-alligation-f-h-10711.png

∴  उन्हें 9 : 4 अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

मिश्रण का मूल्य:

किसी मिश्रण के घटक Mi को Ci मूल्य की Qi मात्रा के साथ मिलाया जाता है तो मिश्रण का मूल्य:

mixture-alligation-f-h-10723.png

उदाहरण 4. Rs 7 प्रति किग्रा की लागत वाला मिश्रण प्राप्त करने के लिए Rs 6 प्रति किग्रा वाले 5 किग्रा चावल को किसी अन्य प्रकार के 4 किग्रा चावल के साथ मिश्रित किया जाता है तो महँगे चावल का मूल्य ज्ञात करें।

हलः माना महँगा चावल का मूल्य Rs x है।

स्पष्ट सूत्र द्वारा,

mixture-alligation-f-h-10731.png

⇒63 – 30 = 4x ⇒ 4x = 33

⇒x = mixture-alligation-f-h-10737.png

यौगिक मिश्रण के लिए एलगेशन के नियम:

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हम जानते हैं कि यौगिक मिश्रण में विभिन्न अनुपातों में दो साधारण मिश्रणों को मिलाकर एक नया मिश्रण बनाया जाता है।

माना मिश्रण 1 में वस्तु A और B, a : b अनुपात में और मिश्रण 2 में वस्तु A और B, x : y अनुपात में मौजूद है। अब, मिश्रण 1 की M इकाई और मिश्रण 2 की N इकाई को मिश्रित कर यौगिक मिश्रण बनाया जाता है। तब, परिणामी मिश्रण में A और B का अनुपात है।

mixture-alligation-f-h-10744.png

और, परिणामी मिश्रण में A की मात्रा

mixture-alligation-f-h-10750.png

परिणामी मिश्रण में B की मात्रा

mixture-alligation-f-h-10756.png

जब qA और qB दिया हुआ हो और M और N ज्ञात करना हो, तो

mixture-alligation-f-h-10764.png

और, मिश्रण 1 की मात्रा

mixture-alligation-f-h-10770.png × परिणामी मिश्रण की मात्रा

मिश्रण 2 की मात्रा

mixture-alligation-f-h-10777.png × परिणामी मिश्रण की मात्रा

निष्कासन और प्रतिस्थापन (Removal and Replacement)

(i)  माना एक पात्र में घटक A और B के मिश्रण की Q इकाई मौजूद है। अब, इससे मिश्रण की R इकाई निकाल ली जाती है और उसी के बराबर घटक B भर दी जाती है।

यदि इस प्रक्रिया को n बार दोहरायी जाये, तो n प्रक्रिया के बाद:

mixture-alligation-f-h-10783.png

और निकाले गये B की मात्रा = Q – निकाले गये A की मात्रा

(ii)  माना एक पात्र में केवल वस्तु A की Q इकाई मौजूद है। अब इससे वस्तु A की R इकाई को उसी के बराबर मात्रा में वस्तु B से बदला जाता है।

यदि इस प्रक्रिया को n बार दोहरायी जाये, तो n प्रक्रिया के बाद निकाले गये A की मात्रा

= mixture-alligation-f-h-10790.png

B की मात्रा = 1 – निकाले गये A की मात्रा

उदाहरण 5. एक बेईमान नाई लोशन के ऐसे मिश्रण का उपयोग करता है जिसमें 5 भाग लोशन और 3 भाग पानी मौजूद है। वह मिश्रण का कुछ भाग निकालने के बाद उसमें उसी के बराबर पानी मिला देता है ताकि लोशन और पानी की मात्रा समान हो जाए। निकाले गये मिश्रण का भाग हैः

  1. 1/3
  2. 1/5
  3. 1/4
  4. 1/6

हल: (2):  माना शुद्ध लोशन की मात्रा = 5 किग्रा

और शुद्ध पानी की मात्रा = 3 किग्रा

∴ मिश्रण की कुल मात्रा = 8 किग्रा

पुनः माना 8 किग्रा मिश्रण से x किग्रा निकाला गया।

अब बचे हुए लोशन की मात्रा = mixture-alligation-f-h-10797.png किग्रा

और बचे हुए पानी की मात्रा = mixture-alligation-f-h-10803.png किग्रा

∴ अब x किग्रा पानी का योग करने पर पानी की मात्रा

= mixture-alligation-f-h-10809.png किग्रा

प्रश्नानुसार, mixture-alligation-f-h-10816.png

mixture-alligation-f-h-10823.png

mixture-alligation-f-h-10829.png

⇒ 8 किग्रा मिश्रण का 1/5 भाग निकाला गया।


A और B के x लीटर मिश्रण में, A और B का अनुपात a : b है तो मिश्रण का अनुपात c : d बनाने के लिए मिलाये गये B की मात्रा हैः

mixture-alligation-f-h-10835.png

उदाहरण 6. 30 लीटर मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात 7 : 3 है। इस मिश्रण का अनुपात 6 : 1 बनाने के लिए पानी की आवश्यक मात्रा ज्ञात करें।

हल: सूत्र से, जोड़े गये B की मात्रा

= mixture-alligation-f-h-10844.png

∴ आवश्यक मात्रा

= mixture-alligation-f-h-10850.png

mixture-alligation-f-h-10857.png = 33 लीटर


एक मिश्रण में घटक A और B का अनुपात a : b है। यदि घटक B के x लीटर को मिश्रण में मिलाया जाता है तो A और B का अनुपात a : c हो जाता है। तब मिश्रण में A की मात्रा mixture-alligation-f-h-10864.png होगी और B की मात्रा होगी: mixture-alligation-f-h-10870.png

उदाहरण 7. एक मिश्रण में बीयर और सोडा का अनुपात 8 : 3 है। 3 लीटर सोडा मिलाने पर, बीयर और सोडा का अनुपात 2 : 1 (या 8 : 4) हो जाता है। मिश्रण में बीयर और सोडा की मात्रा ज्ञात करें।

हल: मिश्रण में बीयर की मात्रा

= mixture-alligation-f-h-10876.png = 24 लीटर

और मिश्रण में सोडा की मात्रा

= mixture-alligation-f-h-10882.png = 9 लीटर

 

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